交流电的表示方法（续）

（闻芒）正弦交流电还有一种表示方法，叫做复数表示法。我们在前文曾介绍过正弦量可以用旋转着的矢量来表示，由于在数学上矢量是可以用复数表示的，所以正弦量也可用复数表示。这种表示方法是把正弦量记作复数这个“数”的表示式，所以用来计算电路问题时就成为对复数这个“数”的代数运算过程，而复数的运算比起三角函数或几何运算来要简单得多，所以这种表示法得到了广泛的应用，是研究交流电路不可缺少的工具。本文将集中讨论这种方法。

在数学或者某些工程问题的计算中，有时会遇到求解方程而得不到实数解的情况。例如，求方程x\(^{2}\)+36＝0的解。这里，其根应当是X=±\(\sqrt{-}\)36。我们知道，在实数范围内任何数的平方都不为负值，所以负数是不能开方的。为了使这类问题得到解答，早在16世纪时人们就引入了一个新的数，叫做虚数，并且令虚数的单位为-1，记作i=\(\sqrt{-}\)1。这样，-36就可写作：6\(\sqrt{-}\)1=6i,上述方程的解就是X=±6i，即，x是等于6个虚数单位的一个虚数。

如果一个数既包括实数又包括虚数，它就可认为是由两部分所组成：即实数部分a和虚数部分bi，在数学上把这样的数叫做“复数”，并且记作a＋bi，请注意，这里的“＋”并不表示相加的意思，它只是一个符号，表示复数包括a和bi这样两个部分而已。例如：复数3＋2i、\(\frac{1}{2}\)+2;3i等等。其实数部分分别是3和\(\frac{1}{2}\)，虚数部分分别是2i和2;3i。

一个复数，常用大写字母上加“·”来表示，如复数A·=a＋bi，U·=c＋di等等。其中实数部分（如 a、c）简称实部，虚数部分（如bi，di）简称虚部。b，d，称作虚部的系数，而且实部和虚部的系数本身也都是实数。在数学上，表示一个复数，也可和表示其它函数一样，用平面直角坐标系中的一点来表示。这时，模座标轴（X轴）表示实数部分，纵座标轴（y轴）表示虚数部分，纵轴的单位长度是i=\(\sqrt{-}\)1。例如，有一个复数A·=a＋bi=4＋3i，在直角坐标平面上就可用一点A代表它，A点的坐标分别是a= 4，b=3，如图1。这种用来表示复数的座标平面叫做复平面，其特点是纵轴的单位长度是i。可见，在复平面上的任何一点，都唯一地代表着一个复数。

为着最终找出正弦量—矢量—复数三者之间的关系，以便用复数表示正弦量，先讨论矢量与复数的关系。在图1中，连接原点o与A并把o看作是oA的起点，A是终点，则oA→是一个有方向的矢量。设oA→的长度为ρ，与oX轴的夹角为ф0，显然，A点将唯一地决定着矢量oA→,所以这个画在复平面中的矢量oA→可以用A点在复平面中所唯一代表着的复数来表示。因oA→在x轴上的投影为a，在y轴上的投影为b，（当然，oa和ob也是有方向的矢量，即oA→的两个分量）那么，代表矢量oA→的复数当然就是A·=a＋bi。由几何关系不难看出，ρ=\(\sqrt{a}\)\(^{2}\)+b2、a＝ρCOS0、b＝ρsin0及0＝arctg\(\frac{b}{a}\)对于代表矢量oA→的复数A·,称ρ为此复数的模，烁词姆恰Ｓ缮鲜龉叵敌闯龈词娜呛硎臼骄陀校

在数学中，有所谓欧拉公式，证明了上式又可写成指数形式即：

所以复数也可写作A·=ρ·e\(^{i}\)0

如果矢量oA→在复平面中的位置并不是固定不变的,而是以角速度ω＝\(\frac{2π}{T}\)绕原点o从上述初始位置0作逆时针的匀速旋转运动，T为旋转周期；则在时间t时它就旋转了角度豻，即该矢量在任何时间t时所处的位置oA→1应取决于角度430=ωt+0,见图2。如果用复数来表示这个矢量，显然就应当是A·\(_{1}\)=ρ〔cos（ωt+0）＋isin（ωt+0)〕或者写成指数形式A·1=ρ·e\(^{i（ωt＋}\)0）

我们已经知道，正弦量可用旋转矢量表示，上面又说明了旋转矢量可用复数表示，所以正弦量必然也可用复数表示。这就是正弦量的复数表示法。正弦量、矢量、复数三者的对应关系，可以列表如下：

由此可见，描述一个正弦量所必需的三个要素，在复数中都有一定的数学量与之一一对应。若用复数表示正弦量，就是：复数的模代表正弦量的最大值、复数的辐角初始值代表正弦量的初相（角），复数辐角随时间的变化量代表正弦量的相角变化量。举例来说：设已知一正弦电流为i（t）=I\(_{m}\)sin（ωt+0）则表示此电流的复数（称作复电流）便是：

写成指数形式为：I\(_{m}\)e\(^{j}\)(ωt+0)

这里，虚数单位的符号改用j来代替i，以防和瞬时电流的表示符号混淆（在电学问题中都是这样表示的）。同理，如果有一正弦电压u（t）=U\(_{m}\)sin（ωt+0），其复数表示式就是：

上述电流电压的复数表示式还可写成

都是当t=0时即不考虑随时间的变化关系时的固定复数（或者，考虑到矢量—复数的对应关系，就是代表矢量初始位置时的复数），而e\(_{jωt}\)只是表明复数与时间的关系或者说与此复数对应的矢量的旋转特征，所以称ejωt为旋转因子。正如在矢量表示法中已谈过的，讨论几个同频率ω的正弦量之间的相互关系时，可不去考虑旋转问题，而只研究初始状态的相对关系，所以在用复数表示正弦量时也同样不必考虑e\(_{jωt}\)一项。用复数表示正弦交流电并进行计算时也是只用初始状态（t=0）的复数表达式即可。上例电流电压的复数表示式也就简化为I·m=Im\(^{ej}\)0和U·m＝U\(_{m}\)ej0了。

（1）在复数麦示法中，真正代表正弦量瞬时值的，是复数中的虚部系数，而不是整个复数表示式，所以如果有正弦量（例如电流）

所以任何正弦量用复数表示时，如果乘以j，就表示将与此复数对应着的矢量（即在矢量法中代表该正弦量的那个矢量）逆时针旋转90°（前进90°）；乘以-j，就相当于将与此复数对应的矢量顺时针旋转90°（后退90°）。这一点，在表示电感电容等元件上的电压电流间的相互相位关系时，是很有用的。例如，电感上的电压超前于电流90°，用复数表示这种关系就是：

电容上的电压滞后于电流90°，则

其中：U·\(_{L}\)、U·C，分别为电感和电容上的复中压；

I·\(_{L}\)、I·C，分别为电感和电容上的复电流。

（3）无论是前文中的矢量表示法还是本文的复数表示法中，矢量长度或复数的模都被认为是正弦交流电的振幅值如Um，Im等，实际上正弦交流电常用有效值计算，所以为计算方便，矢量长度或复数的模也可用有效值表示，这时，符号就不加下标m而写成U→I→或U·I·，以此计算，其结果亦为有效值。因为有效值＝1\(\sqrt{2}\)振幅值，只差一个常数，故原理不变。

（4）在计算电路问题时，复电压和复电流的比值\(\frac{U}{·}\)I·＝Z叫做复数阻抗，简称复阻抗．在形式上此式与欧姆定律一样，所以是复数形式的欧姆定律。这里的Z，是在计算时两个复数U·和I·相除的结果，虽然也是一个复数，但并不同于正弦量用复数表示的概念，阻抗本身也不是一个正弦量，所以Z只是计算过程中出现的一个复数计算量，因而特别以大写字母z表示，而不再加“·”，以示区别。复阻抗表示着电路中电压电流间的关系，只取决于元件的参数，所以是一个复数形式的常数，电路的阻抗数值就是它的模值。而它的辐角则表示电压电流间的相对相位关系。

（5）我们所介绍过的各种表示正弦量的方法，都只不过是为了说明问题或计算上的便利而采取的“方法”；在波形图法中，正弦电流也只是说在导线或电路中正电荷随时间运动的多少和方向，在本质上它不同于具有时空概念的波动过程，波形图也仅仅能使电流变化的物理过程形象化，并不能说正弦电流就等于正弦波。同理，用旋转矢量或复数表示正弦量，也决不是说正弦量就等于旋转矢量或复数，这只是为了计算方便而采用的一种数学工具、一种数学表示方法。有时把复数表示法也叫做“符号法”就是这个道理，即，无非是借助复数作为一种表示正弦量的“符号”，以求计算上的方便面已。

（6）在用复数表示法进行电路计算时，交流电路的各种计算公式都可直接应用，只要在各物理量上注出复数标记，并遵循复数的运算规则即可。比如：

欧姆定律为\(\frac{U}{·}\)I·＝Z

串联电路中各分电压之和等于总电压：

并联电路中总电流等于各支路电流之和：