用卡诺图化简逻辑表达式（续）

将逻辑表达式搬上卡诺图以后，就要应用卡诺图进行化简了。化简的过程，就是在卡诺图上合并最小项的过程。那么，什么叫最小项呢？卡诺图中任何一个方格都代表着一个确定的乘积项，例如在图8所示的卡诺图中，A、B的01列和C、D的11行交叉的方格就代表着乘积项A-BCD，同理， A、B的01列和C、D的10行交叉的方格则代表着AB-CD-。这些乘积项有两个共同的特点；第一，它们都包含了卡诺图的全部变量；第二，这些变量不是以原变量的形式出现，就是以反变量的形式出现，而且只出现一次。对于这样的乘积项，我们就叫它最小项。

知道了什么叫最小项以后，我们再介绍它的合并方法。所谓合并，实际上是利用卡诺图上最小项之间的某种关系，直接写出代表这些最小项的最简逻辑表达式。从图8所示的四变量卡诺图的结构可知，它的水平变量A、B和垂直变量C、D都是按00、01、11、10的规律变化的，这种变化规律就使相邻的两行之间必有一个变量互补，相邻的两列之间也必有一个变量互补，结果导致任意相邻的两个方格（最小项）都有一个变量互补。卡诺图化简法就是利用了相邻最小项之间的这种互补关系来实现的。例如，图8中有两个相邻的方格填1，如果用最小项的形式写出它们的逻辑表达式则为：

由于它们含有互补变量D和D-，根据公式D＋D-=1，可以将（6）式化简：

这样就消去了它们的互补变量，只留下了一个乘积项（是它们的公因子），而这个乘积项就是代表这两个方格的最简逻辑表达式。实际的作法当然不是这样一步一步地用数学式子进行推导，而是，只要见到卡诺图上有两个填1的方格是相邻的，就用小框把它们圈起来，直接写出它们的公因子。这就是在卡诺图上合并两个最小项的方法。此外，在卡诺图上，虽然上下边缘对应的方格和左右边缘对应的方格在位置上并不相邻，但由于它们也各有一个变量是互补的，因此也能够像相邻最小项一样，合并成一个乘积项，为此，我们也认为它们是相邻的。图9列举了各种相邻情况的两个最小项的合并方法。

图10有四个相邻的最小项，根据两个相邻最小项的合并方法，可以先把（1）框和（2）框分头合并，然后把它们加起来，于是得逻辑表达式

式（7）中的两项仍含有互补变量A和A-，因此还能进一步化简：

由此我们可以得出结论：凡是四个相邻的最小项也可以合并成一个乘积项，该乘积项就是四个相邻最小项的公因子。在图上合并的方法是将四个相邻最小项用一个小框圈住，直接写出它们的公因子。上下边缘、左右边缘对应的四个最小项也和相邻的四个最小项一样，可以用小框圈住加以合并。图11列举了几种四个相邻最小项的合并情况。

图12有八个相邻的最小项，也可以先把它分成两部分，每一部分则包含着四个相邻的最小项，分头合并后再相加得：

显然（8）式中仍含有互补变量，因此还可以进一步化简

由此我们又得出结论：八个相邻的最小项也可以合并成一个乘积项，这个乘积项是八个相邻最小项的公因子。合并的方法是将八个相邻最小项用一个小框圈住，直接写出它们的公因子。上下边缘和左右边缘对应的八个最小项，也和相邻的八个最小项一样，可以用小框圈住加以合并。图13画出了这两种合并的情况。

以上我们介绍了二、四、八个相邻最小项的合并方法。这里有两个问题需要注意：一是只有相邻的和上下边缘对应的最小项才能合并成为一个乘积项，而且被合并的最小项的个数必须是二、四、八等数字，其它数字，如六个相邻最小项就不能合并成为一个乘积项。二是一次圈住的相邻最小项的个数越多越好。如有四个最小项相邻，则要一次圈住四个，而不要两个一组分头去圈。

上面我们介绍了如何把逻辑表达式搬上卡诺图，也介绍了如何在卡诺图上合并最小项。这两步实际上就是利用卡诺图化简逻辑表达式的全过程。下面我们再通过几个实例，连贯地介绍一下这个过程。

例1：化简F=A-BC-+BCD-（C+D--B-CD-第一步，将逻辑表达式转换成与或形式：

第二步，将逻辑表达式搬上卡诺图：

首先确定卡诺图的格式。上式共有四个变量A、B、C、D，因此需用四变量卡诺图的格式。其次把逻辑表达式逐项搬上卡诺图，得图14。第三步，在卡诺图上合并最小项：

合并的方法是，从任一个填1的方格开始，寻找和它相邻的填1的方格一起圈起来，圈住的数目越多越好。再从另外填1的方格开始，重复上述过程，直到卡诺图上全部填1的方格都被圈过为止，不得漏圈。本例的合并过程参看图15。图中（1）框的公因子（即化简的结果）为C-D，（2）框的公因子为A-BC-，（3）框的公因子为BD，（4）框填1的方格是孤立的，和哪一个填1的方格都不相邻，因此，只能将它本身圈起来。第四步，把各小框的化简结果加起来，便得最简逻辑表达式：

例2：已知卡诺图如图16所示，求用它表示的最简逻辑表达式。

如果根据例1的步骤和方法，最后可得逻辑表达式

然而上式并不是最简逻辑表达式，我们可将其中的公因子Dl提出来，于是得：

括号内的A-B可应用基本公式“去第三项律”而消去，这样便得：

此式才是最简逻辑表达式。

为什么会出现不是最简的情况呢？由图17可以看出，对应多余乘积项A-BD的小框圈起来的两个填1的方格都被圈过两次，而另外两个小框都至少有一个填1的方格未被圈过两次。因此，在用卡诺图化简逻辑表达式时又应注意以下两点：

一、卡诺图上所有填1的方格，都至少应被圈过一次。此点保证了逻辑表达式不会因为化简而被弄错。

二、每个圈起来的小框中，至少应保证有一个方格未被圈过两次。此点保证了所得结果为最简逻辑表达式。

至此，我们就把用卡诺图化简逻辑表达式的方法介绍完了。为了进一步说明用卡诺图化简的优越性，下面我们再举一例。

先用卡诺图化简法。因为上式本身就是与或式，所以可直接填写它的卡诺图，得图18。在图18上合并最小项的结果得最简式

再用公式化简法，化简过程如下：

利用公式A+A-B=A＋B，-看作是一个变量，则

两种方法加以比较，可以明显地看出，卡诺图化简法规律性很强，不管多么复杂的式子，只要按照规定的几个步骤去作，都能得出明确的结果。公式化简法则没有什么确定的规律性，而是需要一定的技巧。由此就可见卡诺图化简法的优点了。(杨延善)