阿基米德临终留难题，海伦解题名扬天下
编程爱好者
“给我一个支点，我会搬动整个地球。”这是阿基米德的一句非常有名的名言。阿基米德（Archimedes，公元前287～212年）是古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。罗马时代的科学史家普利尼把阿基米德誉为“数学之神”。公元前212年，罗马将军马塞卢斯围困并攻打西西里的叙拉古港，当马塞卢斯的军队蜂拥而入时，他告诉部下说：“任何人都不得斗胆对阿基米德妄动一个手指头，这人是我们的座上宾。”马塞卢斯的一个士兵在庭院中找到了阿基米德，当时，阿基米德正在沙地上画着一个三角形，这位士兵不自觉地拔出了剑，可阿基米德请求说：“我的朋友，在你杀死我之前，请告诉我怎样根据三条边的长度，将三角形的面积求出来好吗？”这位士兵再没有等待，拔出剑刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地说：“他们夺走了我的躯体，但我将取走我的灵魂。”说完安然死去。
阿基米德去了，一个千年的难题也就丢下了：如何根据一个三角形的3条边求出它的面积呢？我们要做的还有一个简单得令人不屑的问题，如何求它的周长呢？
阿基米德三角未解之谜
第一步：树梯子
还是用我们的老办法，先做出一个“目”字形，这是最基本的一步（图1）。
第二步：做头尾
上面的三部分，先分析开头和结尾部分，开头是什么呢？题中的已知可输入条件，也就是三条边a、b、c。结尾是什么呢？处理完成后的两个结果，即周长l和面积s（如图2所示）。
第三步：连头尾
如何将开头和结尾连接起来呢？也就是a、b、c和s与l的关系，分成两部分，即求周长l和求面积s（图2），怎样求呢？周长最简单，简单得不像题目似的，将三边的值加起来就行了。面积呢，很难。怎么办呢？多亏在阿基米德去世大约三百年后，在希腊出了另一位奇人，他就是海伦。
海伦的三角形理论
海伦（Heron of Alexandria）是古希腊数学家、力学家、机械学家。海伦的主要贡献是《度量论》一书。该书共3卷，其中卷Ｉ第8题给出著名的海伦公式的证明，设三角形边长分别是a、b、c，s是半周长（即s=(a+b+c)/2），则有
但海伦的三角公式，千百年来却逃不出阿基米德“牛”论的笼罩。有人说海伦公式是阿基米德发现的。那究竟这个公式应该属于谁呢？面对阿基米德数百年打压，海伦先生揭竿而起：“这个成果的确是我的！阿基米德不知道的。”
海伦三角形解题
我们接着来做，可得出图5中的结果。
接着第三步来：连头尾。
那么现在用海伦的理论，怎样分析呢？开头是什么呢？题中的已知条件，三条边a、b、c来表示。目标是什么呢？有两种可能，要么求出面积s和周长l，要么由于三条边不满足三角形的条件，而不能输出。这个输出比较难做，怎么办呢？暂且放一放，但应该弄清楚是两种可能出一种。
如何将开头和结尾连接起来呢？也就是建立“输入a、b、c”和“输出面积s和周长l，或因不符合三角形条件而不能输出”的关系，其特点是两种情况最终只有一种情况出现，所以用一个分支，就解决问题了！问题分成三部分，如图3中间所示。是否符合三角形的条件，符合情况下输出面积周长，不符三角形条件则输出“不能构成三角形”。
我们如何去应对这三部分呢（如图4）？
首先看条件，这是前所未有的复杂的条件，只有任意两边的和大于第三边，才可能是三角形，是三角形才可能求面积，如何做这种保证呢？因为只有三条边a、b、c，所以，上面的话翻译出来是：a+b>c且a+c>b且b+c>a。
然后看分支的左边，也就是条件成立时的活儿，这时，无非就是求三角形的面积（如图5所示）！就是阿基米德求法的结果。
最后看分支的右边，也就是不符合三角形的条件，这里要做的就更简单了，只要输出一种提示信息就行了。
第四步：贴语法
下面我们还用QBASIC语言来解这个题目。第三步中的各个语句和具体语言的语法还有一定的差距，根据相应语言，还要再将相应语句转化。一个是分支的条件，翻译成电脑语言，只要将“且”用and，一种表示并且的关系符号表示就行了；还有输出部分，两个输出都要转化成相应语句；公式的电脑语言化也要完成，保证在一行上，相关函数和括号用得准确（如图6）。
第五步：写代码
下面可以很简单地写代码了，最重要的是后面的一部分。整个图可分成两大部分，后面的一个分支作为一大部分，这部分复杂一点，上面的一部分原封不动照搬，下面按分支语句的结构做出来，程序也就有了：
所以代码如下：
input a,b,c
‘第一个分支
if a+b>c and a+c>b and b+c>a then
l=a+b+c
k=l/2
s=sqr(k*(k-a)*(k-b)*(k-c))
print s,l
‘第二个分支
else
print “BuNeng GouCheng Sanjiaoxing”
endif
（上程序在QBASIC下调试通过）
阿兰开讲
阿基米德给我们的最大启示是：解题要善于利用前人已有的东西。发明创造的素质是必需的，但是，现有的数学物理上的方法及公式，有时用一下，并不能泯灭我们的个性，相反地，会给我们的解题带来巨大的方便。后面我们还将奉献上这样一些有意思的题目，进一步来看一下分支结构的特点，但遇到问题时，千万脑筋要拐一下弯，毕竟，我们现在有了两种控制问题的有力工具：分支和顺序。欲知后事如何，且听下回分解。
小测验：分金条
如果让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？
上期小测验参考答案：
本题的解题关键还是理清时间脉络，下面看一下第N只猴子和面前桃子数的关系。
第N只猴 第N只猴前桃子数目
5 s5=x
4 s4=s5*5/4+1
3 s3=s4*5/4+1
2 s2=s3*5/4+1
1 s1=s2*5/4+1
s1即为所求。上面的规律中只要将s1-s5的下标去掉： s=x
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
上面求出的只是满足条件的最小正整数解，第五只猴子面前最少是6颗桃子，这样才能保证分成5份后还有一颗，但这一次保证了，下一次还不一定保证。所以，每次长5个，要试验多次。所以可能的范围是6-∞每次增加5，这样找比较烦。那究竟怎么办呢？上面的办法不太适合人干，可以考虑其他的方法。思路一转，有一个巧思妙想的解法：假若我们借来4个桃子，这样桃子数就可以连续5次平均分成5堆了。随着我们学习的深入，最终还是通过程序，会找到合适的结果的，如果倒着着推下去，不难发现这个值是1276。